Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu. Deret adalah jumlah dari suku-suku dalam barisan.
Secara simbol sederhana, barisan dapat dituliskan sebagai \(U_1, U_{2^2}, U_{3^{\prime}}, \ldots, U_n\).
\(U_1=\) suku pertama,
\(U_2=\) suku kedua,
\(~\vdots\)
\(U_n=\) suku ke- \(n\), dengan \(U_n=S_n-S_{n-1}\), untuk \(n>1\)
Secara simbol sederhana, deret dapat dituliskan sebagai \(U_1+U_2+U_3+\ldots+U_n\).
\(S_1=\) jumlah satu suku pertama \(\Rightarrow S_1=U_1\)
\(S_2=\) jumlah dua suku pertama \(\Rightarrow S_2=U_1+U_2\)
\(~\vdots\)
\(S_n=\) jumlah \(n\) suku pertama \(\Rightarrow S_n=U_1+U_2+U_3+\ldots+U_n\)
Simbol yang digunakan pada barisan dan deret adalah sebagai berikut.
\(a \quad\) suku pertama
\(b=\) beda/selisih
\(r=\) rasio/pembanding
\(U_n=\) suku ke- \(n\)
\(S_n=\) jumlah \(n\) suku pertama
\(U_t=\) suku tengah
1. Barisan dan deret aritmetika
Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang memiliki beda (b) yang tetap. Deret aritmetika adalah jumlah suku ke-n pertama pada barisan aritmetika.
Rumus suku ke-n:
\(
U_n=a+(n-1) b
\)
Rumus jumlah deret ke- \(n\) :
\(
\begin{aligned}
S_n&=\frac{n}{2}\left(a+U_n\right) \\
S_n&=\frac{n}{2}(2 a+(n-1) b)
\end{aligned}
\)
Rumus suku tengah (hanya berlaku untuk \(n\) bilangan ganjil):
\(
\begin{aligned}
U_t &=\frac{1}{2}\left(a+U_n\right) \\
S_n &=n \cdot U_t
\end{aligned}
\)
2. Barisan dan deret geometri
Barisan geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio \((r)\) yang tetap. Deret geometri adalah jumlah suku ke-n pertama pada barisan geometri.
Rumus suku ke- \(n\) :
\(
U_n=a \cdot r^{n-1}
\)
Rumus jumlah deret ke- \(n\) :
\(
\begin{aligned}
S_n&=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}, r<1 \text{ atau }\\
S_n&=\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}, r>1
\end{aligned}
\)
Rumus jumlah deret suku tak hingga:
\(
S_{\infty}=\frac{a}{1-r},-1<r<1
\)