1. Persamaan linear
Persamaan linear adalah suatu persamaan yang memuat satu atau dua variabel (peubah) yang memiliki pangkat bulat positif dan pangkat tertinggi variabelnya adalah satu.
Bentuk umum:
\(\begin{array}{ll}a x+b=0, \text { dengan } a, b \in R & \Rightarrow \text { satu variabel } \\ a x+b y+c=0, \text { dengan } a, b, c \in R & \Rightarrow \text { dua variabel }\end{array}\)
2. Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial (suku banyak) yang pangkat tertingginya 2.
Bentuk umum: \(a x^2+b x+c=0\), dengan \(a, b, c \in R \operatorname{dan} a \neq 0\)
Cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.
a. Metode kuadrat sempurna
Contoh:
\(
\begin{aligned}
x^2-6 x+5 & =0 \\
\left(x^2-6 x\right)+5 & =0 \\
(x-3)^2-9 & =-5 \\
(x-3)^2 & =-5+9 \\
(x-3)^2 & =4 \\
x-3 & = \pm \sqrt{4} \\
x-3 & = \pm 2
\end{aligned}
\)
\(\begin{aligned} x-3 & =2 & \text { atau } & & x-3 & =-2 \\ x & =5 & \text { atau } & & x & =1\end{aligned}\)
b. Rumus \(a b c\)
\(
x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a}, \text { dengan } a \neq 0
\)
Contoh:
\(
\begin{aligned}
& x^2-6 x+5=0 \\
& \Rightarrow a=1, b=-6, \operatorname{dan} c=5
\end{aligned}
\)
\(\begin{aligned} & x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4 a c}}{2 a} \\ & x_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} \\ & x_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{36-20}}{2} \\ & x_{1,2}=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} \\ & x_{1,2}=\frac{6 \pm 4}{2}\end{aligned}\)
\(\begin{array}{lll}x_1=\frac{6+4}{2} & \text { atau } & x_2=\frac{6-4}{2} \\ x_1=5 & \text { atau } & x_2=1\end{array}\)
c. Metode memfaktorkan
Contoh:
\(
\begin{array}{r}
x^2-6 x+5=0 \\
(x-5)(x-1)=0
\end{array}
\)
\(\begin{array}{rlrrl}x-5 & =0 & \text { atau } & x-1 & =0 \\ x & =5 & \text { atau } & x & =1\end{array}\)
Operasi hitung akar-akar persamaan kuadrat \(a x^2+b x+c=0\) adalah sebagai berikut.
- \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
- \(x_1 \cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- \(x_1-x_2=\frac{\sqrt{D}}{a}\)
3. Pertidaksamaan linear
Sifat-sifat pertidaksamaan:
a. Jika \(a\) dan \(b\) bilangan real, maka berlaku \(a>b\) atau \(a=b\) atau \(a<b\).
b. Jika \(a>b\) dan \(b>c\), maka \(a>c\).
c. Jika \(a>b\) dan \(c>0\), maka \(a+c>b+c\).
d. Jika \(a>b\) dan \(c>0\), maka \(a c>b c\) dan \(\frac{a}{c}>\frac{b}{c}\).
e. Jika \(a>b\) dan \(c<0\), maka \(a c<b c\) dan \(\frac{a}{c}<\frac{b}{c}\).
Pertidaksamaan adalah suatu kalimat matematika terbuka yang memuat ungkapan \(>, \geq,<\), atau \(\leq\).
4. Pertidaksamaan kuadrat
Contoh:
\(
\begin{aligned}
x^2-6 x+5 & \geq 0 \\
(x-5)(x-1) & \geq 0
\end{aligned}
\)
\(
x \leq 1 \text { atau } x \geq 5
\)
Himpunan penyelesaian \(=\{x \mid x \leq 1\) atau \(x \geq 5, x \in R\}\)