Integral merupakan operasi kebalikan dari turunan atau integral merupakan anti turunan. Jika \(f(x)\) adalah fungsi turunan dari \(F(x)\), yaitu \(f(x)=F^{\prime}(x)\), maka:
\[
\int f(x) d x=\int F^{\prime}(x) d x=F(x)+C
\]
1. Jenis integral
- Integral tak tentu
\(\begin{aligned} \Rightarrow \int f(x) d x=\int F^{\prime}(x) d x=F(x)+C \end{aligned}\) - Integral tertentu
\(\begin{aligned} \Rightarrow \int_a^b F(x) d x=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)\end{aligned}\), dengan \(a \leq x \leq b\)
2. Sifat integral
a. Sifat umum integral
- \(\begin{aligned}\int c \cdot f(x) d x=c \cdot \int f(x) d x \end{aligned}\), dengan \(c\) konstanta
- \(\begin{aligned}\int\{f(x) \pm g(x)\} d x=\int f(x) d x \pm g(x) d x \end{aligned}\)
b. Sifat integral tertentu
Jika \(f(x)\) dan \(g(x)\) kontinu pada interval \(a \leq x \leq b\), maka:
\(
\begin{aligned}
& \int_a^b f(x) d x=0 \\
& \int_a^b f(x) d x=-\int_b^a f(x) d x \\
& \int_a^b f(x) d x=\int_a^p f(x) d x+\int_p^b f(x) d x \text {, dimana } a \leq p \leq b
\end{aligned}
\)
3. Rumus integral
\(\begin{aligned} & \int x^n d x=\frac{1}{n+1} x^{n+1}+C \Rightarrow \int(a x+b)^n d x=\frac{1}{a(n+1)}(a x+b)^{n+1}+C\\& \int e^x d x=e^x+C \Rightarrow \int e^{(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \cdot e^{(a x+b)}+C\\&\int p^x d x=\frac{p^x}{\ln p}+C \Rightarrow \int p^{(a x+b)} d x=\frac{p^{(a x+b)}}{a \cdot \ln p}+C\\& \int \frac{1}{x} d x=\ln |x|+C \Rightarrow \int \frac{1}{a x+b} d x=\frac{1}{a} \cdot \ln |a x+b|+C \\ & \int \sin x d x=-\cos x+C \Rightarrow \int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C \\ & \int \cos x d x=\sin x+C \Rightarrow \int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C \\ & \int \tan x d x=\ln |\sec x|+C \Rightarrow \int \tan (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\sec (a x+b)|+C \\ & \int \cot x d x=\ln |\sin x|+C \Rightarrow \int \cot (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C \\ & \int \sec x d x=\ln |\sec x+\tan x|+C \Rightarrow \int \sec (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\sec (a x+b)+\tan (a x+b)|+C \\ & \int \csc x d x=\ln |\csc x-\cot x|+C \Rightarrow \int \csc (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\csc (a x+b)-\cot (a x+b)|+C \\ & \int \sec ^2 x d x=\tan x+C \Rightarrow \int \sec ^2(a x+b) d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C \\ & \int \csc ^2 x d x=-\cot x+C \Rightarrow \int \csc ^2(a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C\end{aligned}\)
4. Teknik integral
Digunakan ketika pengintegralan tidak bisa langsung menggunakan rumus dasar.
a. Substitusi tipe 1
\[
\int\left\{f(u) \frac{d u}{d x}\right\} d x=\int u d u
\]
b. Substitusi tipe 2
Teknik integral ini digunakan ketika menemukan bentuk-bentuk:
\[
\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{x^2+a^2}, \operatorname{dan} \sqrt{x^2-a^2}
\]
Penyelesaian:
\(\sqrt{a^2-x^2}\) substitusikan \(x=a \sin \theta\) menghasilkan \(\sqrt{a^2-x^2}=a \cos \theta\)
\(\sqrt{x^2+a^2}\) substitusikan \(x=a \tan \theta\) menghasilkan \(\sqrt{x^2+a^2}=a \sec \theta\)
\(\sqrt{x^2-a^2}\) substitusikan \(x=a \sec \theta\) menghasilkan \(\sqrt{x^2-a^2}=a \tan \theta\)
c. Parsial
Jika \(u=f(x)\) dan \(v=g(x)\), maka \(\int u d v=u \cdot v-\int v d u\)
Ciri-ciri umum: fungsi yang dideferensialkan akan berakhir nol dan fungsi lainnya bisa diintegralkan
5. Aplikasi integral
a. Menentukan fungsi \(f(x)\) jika \(f^{\prime}(x)\) dan \(f(A)\) diketahui Jika turunan pertama \(f(x)\) adalah \(f^{\prime}(x)\), maka fungsi \(f(x)\) dapat diperoleh melalui hubungan:
\(
\begin{aligned}
f(x)=\int f^{\prime}(x) d x
\end{aligned}
\)
b. Menentukan luas daerah dan volume benda putar
c. Menentukan luas antara garis lurus dan parabola atau antara dua buah parabola
\(\begin{aligned} & y_1=y_2=a x^2+b x+c \\ & L=\int_m^n\left(a x^2+b x+c\right) d x=\frac{D \sqrt{D}}{6 a^2}\end{aligned}\)
d. Luas antara parabola yang memiliki puncak dengan sebuah garis (luas yang diarsir)
\(\begin{aligned} L=\frac{2}{3} a b \end{aligned}\)