Berdasarkan framework AKM dalam pengukuran aljabar, domain aljabar terdiri atas persamaan dan pertidaksamaan, relasi dan fungsi (termasuk pola bilangan), serta rasio dan proporsi. Kemampuan yang diukur dari setiap domain pembelajaran tersebut adalah sebagai berikut.
a. Pada materi persamaan dan pertidaksamaan, pemahaman yang dinilai mulai dari menyelesaikan persamaan sederhana hingga sistem persamaan linear tiga variabel.
b. Pada materi pengukuran relasi dan fungsi, menekankan pada kemampuan individu dalam menyelesaikan masalah dengan melibatkan suatu fungsi aljabar.
c. Pada materi pengukuran rasio dan proporsi, menekankan pada pemahaman konsep rasio atau skala dalam permasalahan sehari-hari hingga menyelesaikan masalah aritmetika sosial.
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)
Contoh:
Pak Sani adalah pemilik toko batik Lancar Jaya yang berlokasi di Cirebon. Saat berwisata ke daerah Cirebon, Ibu Antin membeli 2 kain batik motif mega mendung dan 3 kain batik motif beras mawur di toko milik Pak Sani dengan membayar Rp900.000,00. Pada waktu yang sama dan di toko yang sama, Ibu Ana membeli 4 kain batik motif mega mendung dan 2 kain batik motif beras mawur dengan membayar Rp1.000.000,00. Jika sebuah rombongan wisata akan membeli kain batik motif mega mendung dan motif beras mawur di toko milik Pak Sani masing-masing sebanyak 25 kain, berapa uang yang harus dibayarkan seluruhnya?
Penyelesaian:
Misalkan: Harga kain batik motif mega mendung \(=x\)
Harga kain batik motif beras mawur \(=y\)
Berdasarkan soal, dapat dibentuk SPLDV: \(\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y=900.000 \\ 4 x+2 y=1.000 .000\end{array}\right.\)
Eliminasi variabel \(x\) untuk mendapatkan nilai \(y\).
\[
\begin{array}{l|l|l}
2 x+3 y=900.000 & \times 2 & 4 x+6 y=1.800 .000 \\
4 x+2 y=1.000 .000 & \times 1 & 4 x+2 y=1.000 .000
\end{array}
\]
\(\begin{aligned} 4 y & =800.000 \\ y & =200.000\end{aligned}\)
Substitusikan nilai \(y=200.000\) ke persamaan (1).
\[
\begin{aligned}
2 x+3 y & =900.000 \\
2 x+3(200.000) & =900.000 \\
2 x+600.000 & =900.000 \\
2 x & =300.000 \\
x & =150.000
\end{aligned}
\]
Harga 1 kain batik motif mega mendung adalah Rp150.000,00 dan harga 1 kain batik motif beras mawur adalah Rp200.000,00.
Jadi, total uang yang harus dibayarkan oleh rombongan wisata tersebut
\[
\begin{aligned}
& =25(R p 150.000,00+R p 200.000,00) \\
& =25(R p 350.000,00) \\
& =R p 8.750 .000,00
\end{aligned}
\]
2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)
Contoh:
Untuk keperluan acara pesta pernikahan anaknya, pada hari Sabtu, Ibu Rini membeli 50 kg beras dan 5 kg telur dengan membayar sejumlah Rp725.000,00. Pada hari Minggu, ia membeli 100 kg beras dan 10 kg minyak goreng dengan membayar sejumlah Rp1.400.000,00. Pada hari Senin, ia membeli 5 kg telur dan 10 kg minyak goreng dengan membayar sejumlah Rp325.000,00. Berapa selisih harga 1 kg beras dan 1 kg telur?
Penyelesaian:
Misalkan: Harga 1 kg beras \(=x\)
Harga 1 kg telur \(=y\)
Harga 1 kg minyak goreng \(=z\)
Berdasarkan soal, diperoleh SPLTV: \(\left\{\begin{array}{l}50 x+5 y=725.000 \\ 100 x+10 z=1.400 .000 \\ 5 y+10 z=325.000\end{array}\right.\)
Eliminasi variabel \(z\) menggunakan persamaan (2) dan (3).
\[
\begin{aligned}
100 x+10 z & =1.400 .000 \\
5 y+10 z & =325.000
\end{aligned}
\]
\[
100 x-5 y=1.075 .000
\]
Eliminasi variabel \(y\) dari persamaan (1) dan (4) untuk mendapatkan nilai \(x\).
\[
\begin{aligned}
50 x+5 y & =725.000 \\
100 x-5 y & =1.075 .000
\end{aligned}
\]
\(\begin{aligned} 150 x & =1.800 .000 \\ x & =12.000\end{aligned}\)
Substitusikan nilai \(x=12.000\) ke persamaan (1) untuk mendapatkan nilai \(y\).
\[
\begin{aligned}
50 x+5 y & =725.000 \\
50(12.000)+5 y & =725.000 \\
600.000+5 y & =725.000 \\
5 y & =125.000 \\
y & =25.000
\end{aligned}
\]
Harga 1 kg beras Rp12.000,00 dan 1 kg telur Rp25.000,00.
Jadi, selisih harga 1 kg beras dan 1 kg telur \(=R p 25.000,00-R p 12.000,00=R p 13.000,00\)
3. Barisan dan Deret Aritmetika
Rumus suku ke- \(n\) barisan aritmetika: \(U_n=a+(n-1) b\)
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret aritmetika: \(S_n=\frac{1}{2} n(2 a+(n-1) b)\)
Contoh:
Pak Ardi mempunyai 5 orang anak. Setiap hari, ia memberikan uang saku sejumlah Rp20.000,00 untuk anak pertama, Rp18.000,00 untuk anak kedua, dan begitu seterusnya dengan selisih uang saku untuk setiap anak yang berurutan selalu tetap. Tentukan:
a. besar uang saku yang diberikan untuk anak bungsu Pak Ardi,
b. total uang saku yang dikeluarkan Pak Ardi selama 5 hari.
Penyelesaian:
Uang saku anak pertama: \(U_1=20.000\)
Uang saku anak kedua: \(U_2=18.000\)
Besar uang saku merupakan barisan aritmetika dengan beda
\[
\begin{aligned}
(b) & =U_2-U_1 \\
& =18.000-20.000 \\
& =-2.000
\end{aligned}
\]
a. Besar uang saku anak kelima: \(U_5\)
\[
\begin{aligned}
U_n & =a+(n-1) b \\
U_5 & =20.000+(5-1)(-2.000) \\
& =20.000+(4)(-2.000) \\
& =20.000-8.000 \\
& =12.000
\end{aligned}
\]
Jadi, besar uang saku anak kelima adalah Rp12.000,00.
b. Jumlah uang saku yang dikeluarkan Pak Ardi untuk kelima anaknya selama 1 hari: \(S_5\)
\[
\begin{aligned}
S_n & =\frac{1}{2} n(2 a+(n-1) b) \\
S_5 & =\frac{1}{2}(5)(2(20.000)+(5-1)(-2.000)) \\
& =\frac{1}{2}(5)(40.000-8.000) \\
& =\frac{1}{2}(5)(32.000) \\
& =80.000
\end{aligned}
\]
Jadi, total uang yang dikeluarkan Pak Ardi untuk kelima anaknya selama 5 hari \(=5 \times\) Rp80.000,00 \(=\) Rp400.000,00.
4. Barisan dan Deret Geometri
Rumus suku ke- \(n\) barisan geometri: \(U_n=a r^{n-1}\)
Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri: \(S_n=\left\{\begin{array}{l}\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}, \text { untuk } r<1 \\ \frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}, \text { untuk } r>1\end{array}\right.\)
Contoh:
TikTok merupakan platform yang memungkinkan pengguna untuk berkreasi dan mengekspresikan ide secara bebas dalam bentuk video pendek. Lalu, video tersebut dapat dibagikan kepada seluruh pengguna TikTok di berbagai belahan dunia. Banyak pengguna TikTok di suatu daerah selama 3 bulan disajikan pada tabel berikut.
a. Berapa banyak pengguna TikTok pada bulan ke-5?
b. Berapa jumlah pengguna TikTok selama satu semester?
Penyelesaian:
Suku pertama: \(U_1=15\)
Suku kedua: \(U_2=30\)
Rasio: \(r=\frac{U_2}{U_1}=\frac{30}{15}=2\)
a. Banyak pengguna TikTok pada bulan ke-5: \(U_5\)
\[
\begin{aligned}
& U_n=a r^{n-1} \\
& U_5=15\left(2^4\right)=15(16)=240
\end{aligned}
\]
Jadi, banyak pengguna TikTok pada bulan ke-5 adalah 240 orang.
b. Jumlah pengguna TikTok selama satu semester: \(S_6\)
\[
\begin{aligned}
S_n & =\frac{a\left(r^n-1\right)}{r-1} \\
S_6 & =\frac{15\left(2^6-1\right)}{2-1} \\
& =\frac{15(64-1)}{1} \\
& =15(63)=945
\end{aligned}
\]
Jadi, jumlah pengguna TikTok selama satu semester adalah 945 orang.
5. Fungsi Linear
Contoh:
Pak Ali adalah seorang buruh bangunan. Jika ia bekerja selama dua hari, ia akan memperoleh upah sejumlah Rp315.000,00. Jika ia bekerja selama 5 hari, ia akan memperoleh upah sejumlah Rp765.000,00. Jika besar upah yang diterima Pak Ali membentuk fungsi linear, tentukan jumlah upah yang diterima Pak Ali jika ia bekerja selama 10 hari.
Fungsi linear: \(f(x)=a x+b\)
Untuk \(a=2\) dan \(f(2)=315.000\), maka:
\[
315.000=a(2)+b \Rightarrow 2 a+b=315.000
\]
Untuk \(a=5\) dan \(f(5)=765.000\), maka:
\[
765.000=a(5)+b \Rightarrow 5 a+b=765.000
\]
Eliminasi variabel \(b\) untuk mendapatkan nilai \(a\).
\[
\begin{aligned}
& 2 a+b=315.000 \\
& 5 a+b=765.000
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
-3 a & =-450.000 \\
a & =150.000
\end{aligned}
\]
Substitusikan nilai \(a=150.000\) ke persamaan (1).
\[
\begin{aligned}
2 a+b & =315.000 \\
2(150.000)+b & =315.000 \\
300.000+b & =315.000 \\
b & =15.000
\end{aligned}
\]
Persamaan fungsi upah yang diterima Pak Ali adalah \(f(x)=150.000 x+15.000\).
Jadi, jumlah upah yang diterima Pak Ali jika ia bekerja selama 10 hari
\(\begin{aligned} & =R p 150.000,00(10)+R p 15.000,00 \\ & =R p 1.500 .000,00+R p 15.000,00 \\ & =R p 1.515 .000,00\end{aligned}\)
6. Rasio dan Perbandingan
Contoh:
Pak Rifki adalah seorang pengusaha di bidang properti. Perbandingan keuntungan yang diperoleh Pak Rifki selama bulan Januari, Februari, dan Maret adalah \(4: 2: 3\). Selisih keuntungan pada bulan Januari dan Maret sebesar Rp6.000.000,00. Tentukan:
a. keuntungan pada bulan Februari,
b. jumlah keuntungan selama 3 bulan.
Penyelesaian:
a.
\[
\begin{aligned}
\text { Keuntungan pada bulan Februari } & =\frac{2}{4-3} \times 6.000 .000 \\
& =\frac{2}{1} \times 6.000 .000=12.000 .000
\end{aligned}
\]
Jadi, keuntungan yang diperoleh pada bulan Februari sebesar Rp12.000.000,00.
b.
\[
\begin{aligned}
\text { Jumlah keuntungan selama } 3 \text { bulan } & =\frac{4+2+3}{4-3} \times 6.000 .000 \\
& =\frac{9}{1} \times 6.000 .000=54.000 .000
\end{aligned}
\]
Jadi, jumlah keuntungan selama 3 bulan tersebut sebesar Rp54.000.000,00.