Fungsi merupakan relasi dua himpunan, misalkan himpunan \(A\) dan \(B\), yang memasangkan setiap anggota pada himpunan \(A\) dengan tepat satu anggota himpunan \(B\).
1. Sifat-sifat fungsi
a. Injektif (satu-satu)
Jika fungsi \(f: A \rightarrow B\), setiap \(a \in A\) mempunyai mempunyai tepat satu bayangan yang berbeda di himpunan \(B\).
b. Surjektif (onto)
Jika fungsi \(f: A \rightarrow B\), setiap \(b \in B\) merupakan bayangan dari satu atau lebih anggota himpunan \(A\).
c. Bijektif (korespondensi satu-satu)
Jika fungsif: \(A \rightarrow B\), setiap anggota himpunan \(A\) berpasangan dengan tepat satu anggota himpunan \(B\).
2. Aljabar fungsi
a. \((f \pm g)(x)=f(x) \pm g(x)\)
b. \((f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\)
c. \(\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}\)
3. Fungsi komposisi
a. \((f \circ g)(x)=f(g(x))\)
b. \(\quad(g \circ f)(x)=g(f(x))\)
4. Sifat-sifat fungsi komposisi:
a. Tidak berlaku komutatif \(\rightarrow(f \circ g)(x) \neq(g \circ f)(x)\)
b. Berlaku sifat asosiatif \(\rightarrow(f \circ(g \circ h))(x)=((f \circ g) \circ h)(x)\)
c. Terdapat unsur identitas \(I(x) \rightarrow(f \circ I)(x)=(I \circ f)(x)=f(x)\)
5. Fungsi invers
a. \(\quad f^{-1}(x)\) adalah invers dari fungsi \(f(x)\)
b. \(f(x)=\frac{a x+b}{c x+d^{\prime}}, x \neq-\frac{d}{c} \Rightarrow f^{-1}(x)=\frac{-d x+b}{c x-a}, x \neq \frac{a}{c}\)
c. Hubungan sifat fungsi invers dengan fungsi komposisi
(i) \(\left(f \circ f^{-1}\right)(x)=\left(f^{-1} \circ f\right)(x)=I(x)\)
(ii) \((f \circ g)^{-1}(x)=\left(g^{-1} \circ f^{-1}\right)(x)\)
(iii) \((f \circ g \circ h)^{-1}(x)=\left(f^{-1} \circ g^{-1} \circ h^{-1}\right)(x)\)
6. Fungsi kuadrat
Bentuk umum:
\(
\begin{aligned}
& y=a x^2+b x+c \text { dengan } a, b, c \in R \text { dan } a \neq 0 . \\
& x_{\text {maks/min }}=-\frac{b}{2 a} \\
& y_{\text {maks/min }}=\frac{D}{-4 a}=\frac{b^2-4 a c}{-4 a}
\end{aligned}
\)
7. Sifat-sifat fungsi kuadrat
a. Berdasarkan koefisien \(a\)
\(a>0 \Rightarrow\) terbuka ke atas
\(a<0 \Rightarrow\) terbuka ke bawah
b. Berdasarkan koefisien \(b\)
\(a>0, b>0\) atau \(a<0, b<0 \Rightarrow\) sumbu simetri berada di kiri sumbu \(Y\)
\(a>0, b<0\) atau \(a<0, b>0 \Rightarrow\) sumbu simetri berada di kanan sumbu \(Y\)
c. Berdasarkan koefisien \(c\)
\(c>0 \Rightarrow\) grafik fungsi memotong di sumbu \(Y\) positif
\(c<0 \Rightarrow\) grafik fungsi memotong di sumbu \(Y\) negatif
d. Berdasarkan koefisien \(D\)
\(D>0 \Rightarrow\) mempunyai dua akar real dan berlainan
\(D=0 \Rightarrow\) mempunyai dua akar real dan sama
\(D<0 \Rightarrow\) tidak mempunyai akar real (imajiner)
\(\Rightarrow\) Kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu \(X\)
\(\Rightarrow a>0\) : Kurva berada di atas sumbu \(X\) (definit positif)
\(\Rightarrow a<0\) : Kurva berada di bawah sumbu \(X\) (definit negatif)
8. Menyusun fungsi kuadrat
a. Diketahui kurva memotong sumbu \(X\) di \(x_1\) dan \(x_2 \Rightarrow y=a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)\)
b. Diketahui titik puncak \(\left(x_{p^{\prime}} y_p\right) \Rightarrow y=a\left(x-x_p\right)^2+y_p\)
c. Diketahui kurva menyinggung sumbu \(X \mathrm{di} x_1 \Rightarrow y=a\left(x-x_1\right)^2\)
9. Hubungan garis dengan fungsi kuadrat
a. \(D>0 \Rightarrow\) garis memotong kurva di dua titik
b. \(D=0 \Rightarrow\) garis menyinggung kurva di satu titik
c. \(D<0 \Rightarrow\) garis tidak memotong dan tidak menyinggung kurva