Limit suatu fungsi \(f(x)\) untuk \(x\) mendekati nilai \(a\) adalah harga yang paling dekat dari \(f(x)\) pada saat \(x\) mendekati nilai \(a\), dari kiri dan dari kanan.
Bentuk \(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\) terdefinisi jika dan hanya jika \(\lim _{x \rightarrow a_{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a_{+}} f(x)\) atau limit kiri sama dengan limit kanan.
1. Teorema limit
a. Jika \(f(x)=x\), maka \(\lim _{x \rightarrow a} f(x)=a\)
b. \(\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \pm g(x))=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \pm \lim _{x \rightarrow a} g(x)\)
c. Jika \(k\) konstanta, maka \(\lim _{x \rightarrow a} k \cdot f(x)=k \cdot \lim _{x \rightarrow a} f(x)\)
d. \(\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))=\lim _{x \rightarrow a} f(x) \cdot \lim _{x \rightarrow a} g(x)\)
e. \(\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim _{x \rightarrow a} f(x)}{\lim _{x \rightarrow a} g(x)}, \lim _{x \rightarrow a} g(x) \neq 0\)
f. \(\lim _{x \rightarrow a}(f(x))^n=\left(\lim _{x \rightarrow a} f(x)\right)^n\)
2. Nilai limit
a. Untuk \(x \rightarrow c\), di mana \(c\) konstanta dan hasilnya \(\frac{0}{0}\), maka fungsi \(f(x)\) diuraikan dengan cara:
(i) Faktorisasi
(ii) Kali sekawan, jika \(f(x)\) mengandung bentuk akar
(iii) Dalil L’Hôpital,
\[\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}\]
b. Untuk \(x \rightarrow \infty\) dan hasilnya \(\frac{\infty}{\infty}\), maka fungsi \(f(x)\) diuraikan dengan cara:
(i) Membagi pembilang dan penyebut dengan \(x\) pangkat tertinggi
(ii) Gunakan rumus:
\[\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a_1 x^m+a_2 x^{m-1}+\ldots+a}{b_1 x^n+b_2 x^{n-1}+\ldots+b}= \begin{cases}\infty, & \text { untuk } m>n \\ \frac{a_1}{b_1}, & \text { untuk } m=n \\ 0, & \text { untuk } m<n\end{cases}\]
c. Untuk \(x \rightarrow \infty\) dan hasilnya \((\infty-\infty)\), maka fungsi \(f(x)\) diuraikan dengan cara:
(i) Kali sekawan jika \(f(x)\) mengandung bentuk akar, kemudian membagi pembilang dan penyebut dengan \(x\) pangkat tertinggi
(ii) Gunakan rumus selisih akar kuadrat:
\[
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{a x^2+b x+c}-\sqrt{p x^2+q x+r}\right)= \begin{cases}\infty, & \text { untuk } a>p \\ \frac{b-q}{2 \sqrt{a}}, & \text { untuk } a=p \\ -\infty, & \text { untuk } a<p\end{cases}
\]
3. Limit fungsi trigonometri
a. Untuk bentuk dasar, gunakan rumus:
\[
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{b x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\sin b x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan a x}{b x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x}{\tan b x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan a x}{\tan b x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin a x}{\tan b x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan a x}{\sin b x}=\frac{a}{b}
\]
b. Jika terdapat bentuk \(\lim _{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)}\) dan hasilnya \(\frac{0}{0}\) di mana \(f(x)\) dan \(g(x)\) mudah diturunkan, maka gunakan dalil L’Hôpital.
c. Jika terdapat bentuk identitas trigonometri, gunakan rumus berikut.
- \(1-\cos c x=2 \sin ^2 \frac{c}{2} x\)
- \(1+\cos c x=2 \cos ^2 \frac{c}{2} x\)
- \(\sin c x=2 \sin \frac{c}{2} x \cos \frac{c}{2} x\)
- \(1-\sin ^2 c x=\cos ^2 c x\)
- \(1-\cos ^2 c x=\sin ^2 c x\)