Turunan pertama fungsi \(y=f(x)\) adalah \(f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)
1. Rumus
\(\begin{array}{lll}y=a \cdot x^n & \Rightarrow & y^{\prime}=a \cdot n \cdot x^{n-1} \\ y=a \cdot U^n & \Rightarrow & y^{\prime}=\left(a \cdot n \cdot U^{n-1}\right) \cdot U^{\prime}, \text { dengan } U=g(x) \\ y=a \cdot \sin x & \Rightarrow & y^{\prime}=a \cdot \cos x \\ y=a \cdot \cos x & \Rightarrow & y^{\prime}=-a \cdot \sin x \\ y=a \cdot \tan x & \Rightarrow & y^{\prime}=a \cdot \sec ^2 x \\ y=a \cdot \cot x & \Rightarrow & y^{\prime}=-a \cdot \csc ^2 x \\ y=a \cdot \sec x & \Rightarrow & y^{\prime}=a \cdot \sec x \cdot \tan x \\ y=a \cdot \csc x & \Rightarrow & y^{\prime}=-a \cdot \csc x \cdot \cot x\end{array}\)
2. Sifat-sifat turunan
Untuk \(U=g(x), V=h(x), c=\) konstanta, maka:
\[\begin{array}{ll}
y=c & \Rightarrow y^{\prime}=0 \\
y=c \cdot U & \Rightarrow y^{\prime}=c \cdot U^{\prime} \\
y=U \pm V & \Rightarrow y^{\prime}=U^{\prime} \pm V^{\prime} \\
y=U \cdot V & \Rightarrow y^{\prime}=U^{\prime} \cdot V+U \cdot V^{\prime} \\
y=\frac{U}{V} & \Rightarrow y^{\prime}=\frac{U^{\prime} \cdot V-U \cdot V^{\prime}}{V^2}
\end{array}\]
3. Aplikasi turunan
a. Menentukan gradien garis singgung kurva
Gradien garis \(g\) adalah \(m=f^{\prime}(x)\)
Persamaan garis \(g\) adalah \(y-y_0=m\left(x-x_0\right)\)
b. Menentukan interval fungsi naik dan fungsi turun sebuah kurva
\(f^{\prime}(x)>0 \rightarrow\) fungsi \(y=f(x)\) naik
\(f^{\prime}(x)<0 \rightarrow\) fungsi \(y=f(x)\) turun
c. Menentukan nilai stasioner fungsi
Fungsi \(y=f(x)\) dalam keadaan stasioner pada saat \(f^{\prime}(x)=0\)
Jenis-jenis titik stasioner:
(i) Titik balik maksimum, syarat: \(f^{\prime \prime}(x)<0\)
(ii) Titik balik minimum, syarat: \(f^{\prime \prime}(x)>0\)
(iii) Titik belok, syarat: \(f^{\prime \prime}(x)=0\)